Ngebahas Gerbang Logika dan Aljabar Boolean Part 2
Hey yo!
Kembali lagi kita ke pembahasan seputar gerbang logika dan aljabar boolean.
Sebelum masuk ke pembahasan selanjutnya, buat lo yang belum baca penjelasan gue tentang materi ini, bisa baca dulu part 1 nya ya
Link nya nih gue kasihkeunn~
Asyiikk.
Cuss, lanjut ke pembahasan pertama.
Gerbang logika adalah rangkaian dengan satu atau lebih dari satu sinyal masukan tetapi hanya menghasilkan satu sinyal berupa tegangan tinggi atau tegangan rendah. Gerbang logika beroperasi dengan bilangan biner, sehingga disebut juga dengan gerbang logika biner, dalam gerbang logika terdapat tegangan tinggi yang berarti 1 sedangkan tegangan rendah berarti 1.
Pernah kalian sadari? Bahwasanya rangkaian gerbang logika yang rumit ini ternyata telah kita rasakan manfaatnya dari penerapan gerbang logika dikehidupan sehari-hari kita , terutama pada alat-alat digital disekitar kita.
Peran gerbang logika ini udah banyak diaplikasikan pada teknologi dari yang teknologi jadul sampai teknologi masa kini.
Berikut pemaparan contoh dari alat-alat tersebut, yaitu:
- Cutter ID : kegunaannya untuk membuat (memotong) ID card
- Press Textile : kegunaannya adalah untuk melakukan sablon digital ke kaos, t-shirt, dll
- DTV (Telivisi Digital) : jenis telivisi yang menggunakan modulasi digital dan sistem yang kompresi untuk menyiarkan sinyal gambar, suara, dan data ke telivisi
- Plotter : peralatan output yang kegunaannya untuk menggambar grafik dll
- Tensi Digital : alat untuk mengukur tekanan darah otomatis
- Termometer Digital : alat untuk mengukur suhu otomatis
- Kamera Digital : alat untuk mengambil gambar (foto) yang dilengkapi dengan lensa untuk memfokuskan cahaya agar cahaya tersebut dapat membentuk bayangan objek yang akan difoto.
- Jam Digital : alat untuk menghitung waktu
Nah, untuk peran Aljabar Boolean bisa kita lihat di penjelasan berikut ini. Sebelum adanya mikroprosesor seperti sekarang manusia banyak menuai sesuatu dengan logika dasar, logika logika itu yang sekarang dinamakan biner, octal , hexadecimal dan BCD. Pertama kali ditemukan logika ini oleh George Bool
Dia menciptakan logika untuk bilangan biner, sehingga ditemukan istilah analog, dalam perjalanannya mata kuliah ini banyak digunakan oleh jurusan jurusan tertentu, terutama yang berhubungan dengan controller, seperti Teknik informatika, elektro dan computer. Dalam perjalannya mata kuliah ini membuat suatu pendekatan seperti K-Map, Rangkaian logika, Rangkaian kombinasional maupun sekuensial.
(Gambar 2. K-Maps)
Oke,
Dengan penjelasan di atas, bisa kita simpulkan bahwa peran gerbang logika dan aljabar boolean yaitu untuk memudahkan kita sebagai manusia dalam menggali manfaat di bidang teknologi.
Terutama bidang elektronik yang sekiranya memudahkan mobilitas kehidupan~
Beberapa metode untuk menyederhanakan persamaan suatu logika diantaranya :
- Aljabar Boolean
- Teorema De Morgan
- Diagram Venn
Salah satu cara untuk memudahkan untuk melukiskan hubungan antara variabel dalam aljabar boolean adalah dengan menggunakan diagram venn.
Diagram ini terdiri dari sebuah segi empat yang didalamnya dilukis lingkaran-lingkaran yang mewakili variabelnya, satu lingkaran untuk setiap variabelnya.
Masing-masing lingkaran itu diberi nama menurut variabel yang diwakilinya. Ditentukan bahwa semua titik diluar lingkaran itu tidak dimiliki oleh variabel tersebut. Misalnya lingkaran dengan nama A, jika dalam lingkaran itu dikatakan bernilai 1, maka diluar a dikatakan bernilai 0.
Untuk dua lingkaran yang bertumpang tindih, terdapat empat daerah dalam segiempat tersebut. Diagram venn hanya cocok apabila jumlah variabelnya tidak lebih dari 3, karena bila lebih dari 3 variabel akan sulit menghitungnya.
- Peta Karnaugh
- Menggunakan jumlah gerbang lebih sedikit sehingga waktu tunda total untai menjadi lebih kecil.
- Kemungkinan resiko kegagalan fungsi lebih kecil karena penggunaan gerbang dan perkawatan yang lebih sedikit
- Daya total yang dikonsumsi untai logika juga akan lebih kecil.
- Hemat biaya
Peta Karnaugh di-"ilustrasikan" seperti matrik 2 dimensi (terdiri atas baris dan kolom) dimana komponen baris dan kolom adalah masukan (input) dari sistem. Input dari masukan inilah yang kemudian disebut variabel K-Map nya. Sehingga ada sebutan K-Map 2 Peubah, K-Map 3 Peubah, 4 peubah dst.
K-Map efektif digunakan hanya sampai 6 peubah saja. Untuk peubah lebih dari 6, tidak lagi di-rekomendasikan menggunakan K-Map karena komputasinya sangat tinggi sehingga disarankan menggunakan program komputer khusus. Tutorial kali ini, saya akan membahas K-Map hingga 4 Variabel. Untuk K-Map 5 dan 6 Peubah akan dibahas pada tutorial berikutnya.
Menggambar peta karnaugh
Peta Karnaugh 2 Peubah:
Ilustrasi berikut adalah peta karnaugh 2 peubah (A dan B).
Kelompok Baris adalah masukan A dan Kelompok Kolom adalah masukan B. Tidak ada yang spesial dari aturan K-Map 2 Variabel. Anda bisa menulisnya 0 kemudian 1 (sesuai contoh) atau 1 kemudian 0.
Sekarang kita lihat tabel kebenaran dari fungsi yang akan kita buat. Asumsikan, kita tidak memiliki fungsi persamaan dari tabel kebenaran berikut dan kita akan membuatnya.
Setiap cell dari matrik (bagian tengah) akan kita isi dengan hasil atau result dari tabel kebenaran. Sebagai contoh:
Peta Karnaugh 3 Peubah:
Sedikit berbeda dengan peta karnaugh 2 peubah, K-Map 3 peubah menggunakan 2 peubah di satu rusuk dan 1 peubah di rusuk yang lain. Anda bisa membuat K-Map dengan 2 peubah di rusuk tegak, dan 1 peubah di rusuk mendatar atau sebaliknya.
Perhatikan gambar:
Yang perlu diperhatikan di sini adalah penyusunan kombinasi masukan 2 peubah harus mengikuti kaidah "perubahan di satu tempat". Artinya transisi dari "0" ke "1" hanya di satu tempat saja.
Sebagai contoh, kombinasi masukan dari "01" menjadi "11". Transisi yang terjadi pada kombinasi ini hanya pada masukan A (dari 0 menjadi 1) sedangkan masukan B tetap (1 tetap 1). Jadi anda tidak boleh menulis "01" kemudian "10" (seperti yang biasa anda lakukan di tabel kebenaran).
Mengapa?
Karena jika susunan-nya "01" kemudian "10", berarti perubahan terjadi di 2 masukan, A berubah dari "0" menjadi "1" dan masukan B berubah dari "1" menjadi "0".
Seperti pada K-Map 2 peubah, isi Cell dari K-Map 3 peubah juga berisi result (hasil) dari tabel kebenaran. Sebagai contoh:
Peta Karnaugh 4 Peubah:
Untuk K-Map 4 peubah, anda dapat memasukkan 2 peubah di rusuk tegak dan 2 peubah di rusuk mendatar.
Perhatikan gambar:
Daerah Minterm
Daerah Minterm
Nah sekarang kita sudah bisa menggambar peta Karnaugh atau K-Map dengan 2, 3 dan 4 peubah. Proses berikutnya adalah menentukan daerah minterm.
Daerah minterm adalah sebuah daerah di dalam K-Map yang berisi nilai 1 yang "bertetangga" (akan dijelaskan dalam contoh). Keanggotaan sebuah daerah minterm bisa berisi 2^n dimana n bernilai 0, 1, 2, 3, ... dst. Sehingga keanggotaan wilayah minterm bisa 1, 2, 4, 8, 16, dst.
Melukiskan daerah minterm, bisa secara vertikal (atas bawah) atau horisontal (kiri dan kanan) tetapi tidak bisa secara diagonal.
Contoh daerah minterm untuk K-Map 2 peubah adalah sebagai berikut:
Keterangan:
(A): Karena nilai "1" hanya ada satu, maka daerah mintermnya juga hanya 1.
(B): Nilai "1" ada di dua tempat (cell) tetapi mereka bertetangga secara diagonal, maka angka-angka "1" tersebut tidak bisa menjadi satu wilayah minterm.
(C): Terdapat 2 wilayah minterm dengan masing-masing memiliki 2 anggota angka "1".
(D): Mirip dengan kasus point (B).
Sedikit berbeda untuk K-Map dengan dimensi yang lebih besar(di atas dimensi 2x2), K-Map "dipandang sebagai sebuah bidang yang "bulat" seperti globe. Artinya daerah minterm bisa saja "menyatukan" angka 1 yang di sisi atas dan bawah atau kiri dan kanan secara berputar.
Lihat contoh di bawah ini:
Ingat: Tidak bisa diagonal saja.
Membangun persamaan dari daerah minterm di K-Map
Setelah daerah minterm sudah kita tandai, proses berikutnya adalah menentukan persamaan dari daerah minterm tersebut. Kita bisa menggunakan asas "konsistensi" untuk memudahkan membangun persamaan daerah minterm tersebut.
Konsistensi yang saya maksud adalah nilai masukan yang TIDAK BERUBAH di setiap sel daerah minterm. Sebagai contoh untuk daerah minterm yang hanya berisi satu anggota seperti pada gambar berikut:
Daerah minterm 1: masukan dari sisi baris adalah A'B dan dari sisi kolom adalah C'. Nilai akses (') di sini mengacu pada nilai 0 pada masukan A dan C (sedangkan karena nilai B bernilai "1" maka tidak diberi aksen atau NOT).
Daerah minterm 2: masukan dari sisi baris adalah AB dan dari sisi kolom adalah C (semua nilai masukan "1" maka tidak ada aksen)
Sehingga fungsi persamaan dari K-Map tersebut adalah: A'BC + ABC.
Pembuktian dengan tabel kebenaran:
Untuk daerah minterm yang berisi lebih dari satu, asas konsistensi bisa kita gunakan. Perhatikan contoh:
Untuk daerah minterm yang berisi lebih dari satu, asas konsistensi bisa kita gunakan. Perhatikan contoh:
Pada contoh di atas, daerah mintem yang terbentuk memiliki empat anggota dimana masukannya adalah:
Sisi Baris (AB): 01 dan 11
Sisi Kolom (CD): 01 dan 11
Nilai yang konsisten di sisi baris adalah B. (A tidak konsisten karena ada A yang bernilai "1" dan ada A yang bernilai "0". Sedangkan nilai yang konsisten di sisi kolom adalah D. (nilai C tidak konsisten).
Sehingga persamaan untuk K-Map di atas adalah BD. Lihat pada tabel kebenaran berikut:
Contoh lain :
Daerah minterm 1 (yang berwarna biru): Masukan yang konsisten di sisi baris (masukan AB) adalah B dan masukan yang konsisten di sisi kolom adalah C sehingga rumus fungsinya adalah BC.
Daerah minterm 2 (yang berwarna merah): Masukan yang konsisten di sisi baris (masukan AB) tidak ada (semuanya (baik A dan B) tidak ada yang konsisten) sedangkan masukan yang konsisten di sisi kolom adalah CD'.
Sehingga persamaan fungsi dari K-Map di atas adalah F = BC + CD'. Perhatikan tabel kebenaran berikut:
Paham ya?
Oke,
Lanjuuuutt!
PENGERTIAN
Bentuk Kanonik merupakan Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP (Sum of Product) atau POS (Product of Sum) dengan minterm/maxterm. Kanonik memiliki literal yang lengkap. Sedangkan bentuk baku merupakan Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP atau POS dengan minterm atau maxterm mempunyai literal yang tidak lengkap. Untuk dalam memahami secara lengkap SOP (Sum of Product) diistilahkan dengan jumlah dari hasil perkalian. POS (Product of Sum) diistilahkan dengan perkalian dari hasil penjumlahan.
Untuk dapat memperoleh ekspresi Boolean yang harus diperhatikan hanyalah “output = 1”. Suku-suku bentuk SOP disebut minterm. sedangkan Untuk mendapatkan mendapatkan bentuk POS (maxterm) diperhatikan hanyalah “keluaran bernilai 0”.
TABEL BOOLEAN BENTUK IKONIK DAN BAKU
Tabel kebenaran adalah tabel yang memuat semua kemungkinan atau kombinasi masukan serta keluaran dari kombinasi tersebut. pada umumnya tabel kebenaran yang memiliki nilai “n” masukan mempunyai “2n”. untuk dapat memahami table tersebut, berikut table kebenaran :
Contoh 1 :
Membuat ekspresi Boolean dalam bentuk SOP dan POS dari tabel kebenaran ini :
a. Dalam bentuk SOP, maka yang dilihat adalah Y = 1
Contoh 2 :
Dalam suatu BANK terdapat beberapa Brangkas yang berisi uang, emas, dan dokumen-dokumen penting lainnya. Dalam BANK tersebut terdapat beberapa direktur dan direktu. untuk dapat membuka brangkas tersebut minimal 2 orang baik direksi maupun direktur untuk dapat membuka bangkas tearsebut. Dalam kasus tersebut, buatlah rangkaian logika sederhana agar case tersebut bisa berjalan :
Penyelesaian :
Dari soal menunjukkan bahwa lemari akan terbuka jika minimal 2 orang dari 3 orang yang ada (dapat menggunakan SOP).a) Masukan (nilai “0” berarti tidak ada orang sedang nilai “1” berarti ada orang).b) Keluaran (nilai “0” berarti pintu tertutup sedang nilai “1” berarti pintu terbuka).
Tabel Kebenarannya :
Gambar rangkaian logikanya:
BENTUK KANONIK
Beberapa bentuk kanonik fungsi Boolean 3 masukan variabel:
Contoh :
Nyatakan fungsi Boolean Y (x, y, z) = ( x + y¯ ) . ( y¯ + z ) dalam bentuk kanonik SOP dan POS.?
Penyelesaian
a) Diambil suku ( x + y¯ ) yang artinya jika nilai masukan 0 1 –, maka Y = 0 (POS)
b) Diambil suku ( y‾ + z ) yang artinya jika nilai masukan – 1 0, maka Y = 0 (POS)
KONVERSI ANTAR BENTUK KANONIK
Apabila f ( x, y, z ) = f´ ( 1, 2, 5, 7 ) dan f ’ adalah fungsi komplemen dari f, maka f ‘ ( x, y, z ) = f´ ( 0, 3, 4, 6 ) = y0 + y3 + y4 + y6.
Dengan menggunakan hukum De Morgan, maka diperoleh fungsi f dalam bentuk POS sebagai berikut:
BENTUK BAKU
Beberapa bentuk baku fungsi Boolean 3 variabel:
Pokok Bahasan:
- Menyatakan Fungsi Boolean Bentuk SOP & POS
- Konfersi Antar Bentuk Kanonik
- Bentuk Baku
- Tekni
1. Menyatakan Fungsi Boolean Bentuk SOP & POS
Untuk menyatakan fungsi boolean dalam bentuk SOP atau POS dapat dilakukan dengan:
- Melengkapi literalnya
- Membentuk minterm/maxterm dari tabel kebenarannya
Contoh:
Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS !
Cara 1
f(x, y, z) = x + y'z
(a) SOP
x = x(y + y')
= xy + xy'
= xy (z + z') + xy'(z + z')
= xyz + xyz' + xy'z + xy'z'
y'z = y'z (x + x')
= xy'z + x'y'z
Jadi,
f(x, y, z) = x + y'z
= xyz + xyz' + xy'z + xy'z' + xy'z + x'y'z
= x'y'z + xy'z' + xy'z + xyz' + xyz
atau
f(x, y, z) = m1 + m4 + m5 + m6 + m7
= S (1,4,5,6,7)
(b) POS
f(x, y, z) = x + y'z
= (x + y')(x + z)
(Hk Distributif)
x + y' = x + y' + zz'
= (x + y' + z)(x + y' + z')
x + z = x + z + yy'
= (x + y + z)(x + y' + z)
Jadi,
f(x,y,z) = (x +y'+ z) (x +y'+ z') (x + y + z) (x + y' + z)
= (x +y+ z) (x +y' + z) (x + y' + z')
atau
f(x, y, z) = M0M2M3
= Õ(0, 2, 3)
2. Konfersi Antar Bentuk Kanonik
Misalkan f(x, y, z) = S (1, 4, 5, 6, 7) dan f ' adalah fungsi komplemen dari f,
f '(x, y, z) = S (0, 2, 3) = m0+ m2 + m3
Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS :
f '(x, y, z) = (f '(x, y, z))' = (m0 + m2 + m3)'
= m0' . m2' . m3'
= (x'y'z')' (x'y z')' (x'y z)'
= (x + y + z) (x + y' + z) (x + y' + z')
= M0 M2 M3
= Õ(0,2,3)
Jadi, f(x, y, z) = S (1, 4, 5, 6, 7) = Õ (0,2,3).
Kesimpulan: mj' = Mj
3. Bentuk Baku
Bentuk baku dari fungsi boolean tidak harus mengandung literal yang lengkap.
Contohnya;
f(x, y, z) = y' + xy + x'yz (bentuk baku SOP)
f(x, y, z) = x(y' + z)(x' + y + z') (bentuk baku POS)
Comments
Post a Comment